Экспериментальное изучение броуновского движения показало реальность флуктуаций и тем самым сыграло немалую роль в признании реальности атомов в начале 20-го века. Проводимые эксперименты опирались на теорию броуновского движения, развитие которой началось в работах Мариана Смолуховского и Альберта Эйнштейна и было завершено Полем Ланжевеном (стохастическое уравнение Ланжевена). Решающим шагом явился отказ от попыток измерения скорости броуновской частицы и переход к измерению ее смещения.
Вероятности появились в молекулярно-кинетической теории во второй половине 19-го века, но экспериментально измеряемые величины, непосредственно связанные с вероятностями, появились впервые в теории броуновского движения. Движение броуновской частицы описывается стохастическим уравнением, но из проводимых измерений можно определить постоянную Больцмана.
В Википедии (статья Броуновское движение) есть рисунок траекторий движения броуновских частиц на основе наблюдений Жана Перрена:
Прямая линия соединяет измеренные положения броуновской частицы, проводимые каждые 30 секунд. В этом смысле прямую линию следует трактовать не как траекторию движения броуновской частицы, а как связь между предыдущим и последующим измерением положения броуновской частицы. В этой заметке рассматривается упрощенное стохастическое уравнение Ланжевена с целью обсуждения использования вероятности и случайных величин в теории физики на примере броуновского движения. В конце заметки кратко затронуты вероятности в квантовой механике.
- Стохастическое уравнение Ланжевена
- Движение броуновской частицы глазами математика
- Движение броуновской частицы глазами физика
- Альберт Эйнштейн: Вероятность есть признак неполной теории
- Случайная величина и мир
Стохастическое уравнение Ланжевена
Эйнштейн связал средний квадрат проекции смещения броуновской частицы x = x1 ‐ x0 на заданную ось (в дальнейшем просто смещение) за время t = t1 ‐ t0 с коэффициентом диффузии D:
<x2> = 2Dt
Индекс 0 относится к положению броуновской частицы в начальный момент времени, а 1 — в момент проведения следующего измерения. Коэффициент диффузии связан с постоянной Больцмана kB, температурой жидкости T, в которой находится броуновская частица, радиусом частицы r и динамической вязкостью жидкости η:
D = (kBT)/(6πrη)
Это позволяет в итоге из среднего квадрата смещения получить постоянную Больцмана.
Уравнение Эйнштейна неявно подразумевает, что смещение броуновской частицы является случайной величиной. Рассмотрение упрощенного уравнения Ланжевена для безынерционного движения броуновской частицы позволяет более детально разобрать это обстоятельство.
При движении броуновской частицы есть характерное время релаксации, оно зависит от жидкости и радиуса броуновской частицы, но скажем, что оно меньше одной микросекунды. Для простоты ниже будет считаться, что 2D=1, это всегда можно достигнуть сменой единиц измерения. Поэтому в дальнейших уравнениях присутствует только время без коэффициента диффузии.
При измерении положения броуновской частицы через интервалы времени, гораздо большими чем время релаксации, движение броуновской частицы описывается безынерционным уравнением Ланжевена:
dX/dt = ξ
X — это случайная величина, связанная со смещением броуновской частицы, а ξ — это случайная сила, действующими на броуновскую частицу в жидкости. Равнодействующая сила на броуновскую частицу является случайной величиной и это вызывает случайное движение броуновской частицы. Модель случайной силы ξ в виде белого шума приводит к хорошему описанию проводимых измерений.
Решением безынерционного уравнения Ланжевена с ξ в виде белого шума является винеровский процесс:
X(t) = W(t)
Он задается следующим распределением вероятности перехода броуновской частицы из состояния 0 в состояние 1:
Дисперсия этой величины, то есть, средний квадрат смещения, равен t, и с учетом пропущенного 2D мы получаем описание стохастического процесса, который совпадает с уравнением Эйнштейна для броуновской частицы.
Рисунок ниже из статьи в Википедии Brownian motion показывает изменение распределения вероятности со временем:
В момент t0 положение частицы было равно x0=0. Если взять время t1=t0, то распределение вероятности превратится в дельту функцию — частица находилась в x0=0 при t0 с вероятностью единица. Через некоторое время распределение броуновской частицы описывается нормальным распределением с дисперсией равной t1 ‐ t0. Таким образом, с течением времени вероятность обнаружения броуновской частицы на более далеких расстояниях от x0 увеличивается. Если частица находится в закрытом сосуде, то введение отражающих граничных условий на границе сосуда приводит к тому, что конечное распределение при увеличении времени стремится к равномерному: вероятность обнаружения броуновской частицы в любом месте сосуда станет одинаковой.
Пусть через некоторое время проведено новое измерение положения броуновской частицы. В этом момент распределение вероятности превращается в дельту функцию с измеренной координатой, а далее по-прежнему используется приведенное распределение вероятности, где для порядка надо только заменить индексы 0 и 1 на 1 и 2. Другими словами, винеровский процесс является марковским процессом без памяти. Вероятность перехода из заданного состояния в последующее определяется уравнением выше, которое остается неизменным в ходе всего процесса — требуется только изменение индексов.
Измерения, проведенные Перреном и показанные на первом рисунке, представляют собой винеровский процесс с интервалом измерения в 30 с. Можно аналогичным образом провести винеровский процесс при использовании генератора псведослучайных чисел. На рисунке ниже из статьи Википедии Wiener process показаны пять таких траекторий, а серым на рисунке показано изменение стандартного отклонения для начальной координаты:
Для построения графика выбирается интервал времени, а далее генератор псевдослучайных чисел с использованием приведенного распределения вероятности генерит численные значения новой координаты. Кривая не показывает траекторию между двумя точками, в ходе винеровского процесса частица просто переходит из состояния {ti, xi} в {ti+1, xi+1}. Можно уменьшить интервал времени, но перемещение частицы с меньшими интервалами времени будет напоминать показанную кривую. Говорится, что процесс Винера самоподобен, и в статье Википедии есть видео на эту тему.
Последнее замечание. Интервал времени не следует делать слишком маленьким. Математически это возможно, но если выбранный интервал времени будет меньше времени релаксации броуновской частицы, то будет потеряна физическая сторона дела. В этом случае потребуется полное уравнение Ланжевена, что в свою очередь потребует более сложных распределений вероятности.
Движение броуновской частицы глазами математика
Дальнейшее внимание будет уделено вопросу о связи математики и физики при экспериментальном исследовании броуновского движения. Для этого вначале рассмотрим винеровский процесс с точки зрения математики. Для начала зафиксируем значения t1 и t0. Это соответствует вопросу, каким будет смещение броуновской частицы за заданный интервал времени. Ответ задается случайной величиной, то есть, заданным распределением вероятности. Переход от случайной величины к определенному численному значению называется испытанием случайной величины. Повторение этого процесса приводит к появлению выборки значений.
Формально вероятность выпадания численного значения для непрерывного распределения считается равным f(x)dx. Можно приближенно разбить функцию распределения на конечное число интервалов, а в качестве вероятности взять среднее значение функции распределения в этом интервале. В этом случае испытание случайной величины можно представить в виде метафоры броска игрального кубика специальной формы с числом граней, равным выбранному числу интервалов, когда выпадание той или иной грани связано с соответствующей вероятностью.
Выборку можно использовать для оценки моментов случайной величины, например, ее дисперсии. Примером является уравнение Эйнштейна, в котором выборка смещений используется для оценки дисперсии и тем самым коэффициента диффузии. В данном случае важно не спутать исходную случайную величину и численные значения, получаемые в ходе испытаний случайной величины. Случайная величина не меняется в ходе испытания, распределение вероятности остается без изменений. В метафоре с бросанием кубика это означает, что кубик не меняется, но каждый бросок приводит к новым численным значениям.
Случайный процесс отличается от случайной величины введением времени. Распределение вероятности становится функцией времени, как показано на рисунке выше. Вероятность смещения броуновской частицы зависит от выбранного интервала времени. Как уже говорилось, винеровский случайный процесс является марковским процессом без памяти. Это означает, что для любого выбора дискретизации во времени, например, {t0, t1, t2, t3, …}, вероятность перехода из предыдущего состояния в последующее задается приведенным распределением вероятности, в котором только потребуется для порядка изменение значения индексов.
Итак, с точки зрения математики существует случайная величина, распределение которой является функцией времени. Далее предполагается, что можно провести испытание случайной величины, например, при использовании генератора псевдослучайных чисел или при проведении измерений в физическом процессе. Задание произвольной дискретизации по времени приводит к одной из реализаций винеровского процесса. В математической статистике также существуют методы проверки гипотезы, что полученная выборка подчиняется или не подчиняется исходному распределению вероятностей.
Движение броуновской частицы глазами физика
В физике, с другой стороны, проводятся реальные эксперименты. Например, траектории движения броуновских частиц в экспериментах Перрена получены путем проведения измерений. В этом случае к созданию выборки приводят природные явления. Разберем этот вопрос более внимательно. При проведении экспериментов с броуновской частицей ничто не мешает считать траекторию ее движения является непрерывной. Винеровский процесс, а также полное стохастической уравнение Ланжевена соответствует непрерывной траектории броуновской частицы.
Процесс измерения положения броуновской частицы не входит в теорию броуновского движения. Этот процесс связан с физикой взаимодействия света с броуновской частицей. Например, Перрен наблюдал движение броуновской частицы в жидкости под микроскопом. Акт измерения занимает определенное время и при этом существует погрешность измерения, но в этой заметке эти эффекты не учитываются.
Теория броуновского движения используется при обсуждении вопроса, каким образом движется броуновская частица. На этом этапе появляется распределение вероятности, и оно отражает случайный характер локальных флуктуаций, которые приводят к отличию равнодействующей силы от нуля и тем самым к движению броуновской частицы.
Таким образом, измерение положение броуновской частицы является испытанием случайной величины, заданной распределением вероятности в предыдущем разделе. Повторение измерений во времени соответствует одной из реализаций винеровского процесса. Другими словами, с точки зрения теории броуновского движения измерение положения броуновской частицы играет роль бросания кубика в метафоре испытания случайной величины из предыдущего раздела.
Этот утверждение играет важную роль в последующем рассмотрении. В измерении положения броуновской частицы в рамках теории взаимодействия света с броуновской частицей нет элемента случайности. Случайность появляется при рассмотрении вопроса, как движется броуновская частица в промежутке времени между двумя последовательными измерениями. В этом случае теория броуновского движения задает только распределение вероятности. На вопрос, какова траектория броуновской частицы в отсутствии измерений, формальный ответ такой. Мы не знаем траекторию движения броуновской частицы, но мы можем предсказать вероятность ее нахождения в пространстве через заданное время.
В настоящее время проводится много экспериментов по изучению движения броуновских частиц в поле внешних сил с использованием стохастического уравнения Ланжевена. Получаемые результаты хорошо согласуются с предсказаниями, то есть, получаемые выборки описываются соответствующими распределениями вероятности. Вопрос теперь состоит в том, что означают использованнные распределения вероятности при описании природных явлений.
Альберт Эйнштейн: Вероятность есть признак неполной теории
Один вариант ответа такой. Стохастическое уравнение Ланжевена является примером неполной теории физики, поскольку введение вероятности в теорию физики связано с отсутствием полного знания. В случае метафоры бросания кубика такая позиция выглядит следующим образом. Бросание кубика является детерминированным процессом на уровне полной теории физики, но незнание начальных условий, а также всех деталей взаимодействия кубика не позволяет сделать точное предсказание, какая грань кубика выпадет. Отсутствие полного знания является причиной введения вероятностей при предсказании поведения кубика.
Сторонником такой точки зрения был Эйнштейн. Патрик Бирн в статье ‘Статистические и причинно-следственные концепции в ранних работах Эйнштейна‘ проанализировал ранние работы Эйнштейна по статистической механике и пришел к заключению, что использование вероятностей Эйнштейном сопровождалось его убеждением в существовании полной теории физики на основе детерминированных уравнений. Например, статья Эйнштейна 1903 года ‘Теория основ термодинамики‘ начинается с такого утверждения:
‘Пусть система изолирована, т. е. взаимодействие рассматриваемой системы с другими системами отсутствует. Тогда ясно, что состояние системы в определенный момент времени однозначно определяет изменение системы в следующий элемент времени.’
Вероятности у Эйнштейна появляются в силу невозможности использования исходной системы уравнений, и вероятности трактуются как статистика поведения огромного количества частиц. Бирн подчеркивает, что такой взгляд Эйнштейна связан с его последующим отношением к квантовой механике. Это обстоятельство также подчеркивается в статье Макса Борна ‘Статистические теории Эйнштейна‘:
‘Кажется, его убеждением всегда было и остается до сих пор, что наиболее глубокие законы природы причинны и детерминистичны, что вероятность необходима только для того, чтобы прикрывать наше невежество, когда нам приходится иметь дело с большим числом частиц, и что только глубина этого невежества выдвигает статистику на передний план.’
Однако последующее развитие физики, в котором Эйнштейн сыграл большую роль, привело к становлению квантовой механики и квантовой статистики. Например, Эйнштейн был одним из первых сторонников введения представления о квантовании энергии, что само по себе доказывает невозможность использования классической механики в микромире. В ходе дальнейшего развития была создана квантовая механика, в которой отсутствовал детерминизм, однако Эйнштейн не изменил свою позицию по отношению к вероятностям. Это обстоятельство привело к расхождению взглядов Эйнштейна с позицией других физиками.
В 1949 году в честь семидесятилетия Эйнштейна вышел сборник статей о вкладе Эйнштейна в науку. В статье Макса Борна, упоминавшейся выше, и статье Вольфганга Паули ‘Вклад Эйнштейна в квантовую теорию‘ особо подчеркивалась роль Эйнштейна в развитии статистических представлений в физике, которые сыграли большую роль в становлении квантовой механики. В то же время в них подчеркивалась разница в позициях по отношению к квантовой механике. Приведу еще пару цитат из статьи Борна:
‘Я не нашел у него никакого определенного ответа на вопрос: «Что такое вероятность?»; он не принимал также участия в дискуссиях, разгоравшихся по поводу определения Мизеса и других подобных попыток. Я предполагаю, что он отклонял их как метафизические спекуляции или даже подшучивал над ними. Сначала он использовал вероятность в качестве умственного орудия для исследования природы точно так же, как любой другой научный метод.’
‘Нынешний Эйнштейн изменился. Я приведу здесь отрывок из его письма, которое я получил несколько, лет назад (7 ноября 1944 года): «В нашем научном ожидании мы выросли антиподами. Ты веришь в бога, играющего в кости, а я — в полную закономерность в мире чего-то объективно существующего, и эту закономерность я пытаюсь уловить дико спекулятивным способом».’
В заключительной статье сборника ‘Замечания к статьям‘ Эйнштейн таким образом сформулировал свою позицию:
‘Оба автора [Паули и Борн] с осуждением относятся к тому, что я отвергаю основную идею современной статистической квантовой теории. Но я все же не верю, что такая фундаментальная концепция может служить надлежащей основой для всей физики в целом.’
‘Принципиально неудовлетворительным в этой теории, на мой взгляд, является ее отношение к тому, что я считаю высшей целью всей физики: полному описанию реального состояния произвольной системы (существующего, по предположению, независимо от акта наблюдения или существования наблюдателя).’
Другими словами, Эйнштейн не мог себе представить существование случайной величины в природе, он по-прежнему считал, что полная теория физики должна содержать только детерминированные уравнения.
Случайная величина и мир
Альтернативный взгляд о существовании случайной величины в природе самой по себе также проблематичен, поскольку в первую очередь остается непонятным, как можно представить случайную величину в природе. В свое время Гильберт в шестой проблеме поставил в том числе вопрос об аксиоматизации вероятности в статистической механике:
‘Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов.’
В цитате Борна упоминалась аксиоматизация Мизеса, который хотел аксиоматизировать частотную интерпретацию вероятности. Однако в итоге главенствующую роль играет аксиоматизация Колмогорова, которая, однако, глуха к вопросу, чему соответствует в реальном мире вероятность из математической статистики. В этом смысле вопрос Гильберта о связи вероятности с теорией физики остался открытым.
В статье Налимова ‘Почему мы пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего мира‘ есть интересное обсуждение с сопоставлением между собой языка детерминизма и языка на основе вероятности. Налимов трактует детерминизм как установку на использование логики и причинно-следственных связей:
‘Детерминизм как понятие имеет двоякое значение. В широком понимании – это безусловная вера в силу и всемогущество формальной логики как средства познания и описания внешнего мира. В узком понимании – это представление о том, что все происходящее в мире подчинено причинно-следственным связям, и, более того, – уверенность в том, что эти причинно-следственные связи, по крайней мере принципиально, всегда могут быть установлены и что к их установлению и сводится, собственно, познание мира.’
Далее Налимов обсуждает трудности введения вероятностей, а в последнем разделе ‘Онтология случая‘ Налимов отмечает проблематичность попытки найти случай в мире:
‘Всякие попытки осмыслить онтологию случая ведут к явно несерьезным высказываниям. Видимо, лучше говорить о том, что случайность – это не онтологическая, а гносеологическая категория. Или так же, как и причинность, – это есть просто одна из двух категорий, порождающих два разных языка для описания мира. В обоих случаях мы имеем дело не с представлениями, возникшими как зеркальное отражение реальности, а с некоторыми абстракциями, построенными над наблюдениями о внешнем мире. Абстракциями, порождающими две разные грамматики для упорядочивания и осмысления результатов наших наблюдений.’
Таким образом, Налимов признает отсутствие четкого ответа, что такое вероятность в реальном мире:
‘Приходится просто признать, что сейчас мы вынуждены пользоваться языком, включающим такие понятия, физический смысл которых, если над ними серьезно задуматься, остается неясным. И как раз с помощью таких понятий удается описывать мир и овладевать им. В этом удивительная особенность языка науки. Почему обо всем этом не говорить прямо?’
‘Тот мир, с которым сталкивается сейчас наука, оказывается столь сложным, что он не может быть описан в привычной нам системе взглядов. Для описания этой сложности пришлось изобрести новый язык, содержащий понятия, физический смысл которых остается неясным. Может быть, здесь надо добавить, что физический смысл этих понятий именно потому нам и не ясен, что мы хотим их все же осмыслить в системе старых представлений.’
В этом отношении также интересно высказывание Борна по поводу слов Эйнштейна ‘Ты веришь в бога, играющего в кости’:
‘я хочу сделать одно замечание, используя образный язык самого Эйнштейна: если бог и сотворил мир в виде совершенной механической системы, то нашему несовершенному разуму он позволил по меньшей мере столько, что для предсказания малой части процессов в этой системе мы, безусловно, не должны решать бесчисленные дифференциальные уравнения, а с надеждой на успех можем взять игральные кости. То, что это так, я узнал вместе с многими из моих современников от самого Эйнштейна. Я думаю, что ситуация сильно не изменилась из-за введения квантовой статистики. Мы, смертные люди, все еще играем в кости для наших маленьких целей прогноза, а действия бога в классическом броуновском движении таинственны так же, как и в радиоактивности, и в квантовом излучении или вообще во всей жизни.’
В утверждении Борна, как и в заключении Налимова, отражен прагматизм на базе экспериментальных исследований. Борн признает наличие определенной тайны, но квантовая механика работает, и Борн в отличие от Эйнштейна не видит особых проблем в этом случае.
Рассмотрим с этой точки зрения уравнение Ланжевена. Математический формализм говорит о случайном процессе, при этом экспериментальное измерение положения броуновской частицы играет роль испытания случайной величины. Использование этого формализма хорошо описывает проводимые эксперименты с броуновскими частицами. Что можно сказать о мире на основе успеха использования стохастического формализма уравнения Ланжевена в экспериментальных исследованиях броуновской частицы?
В этом случае есть физический механизм появления стохастичности — флуктуации. На первом этапе создания теории броуновского движения можно было объяснить флуктуации на основе детерминированных уравнений классической статистической механики, и именно так выглядела картина мира молодого Эйнштейна. Однако по ходу развития стало понятно, что классическая статистическая механика неверна, причем работы самого Эйнштейна сыграли важную роль на этом пути. В настоящее время наличие квантовой механики и квантовой статистики исключает возможность осуществления мечты Эйнштейна даже в случае уравнения Ланжевена.
Таким образом, в настоящее время невозможно утверждать, что за случайной величиной в уравнении Ланжевена скрывается детерминированный переход всей системы из предыдущего состояния в последующее. Конечный ответ при обсуждении связи уравнения Ланжевена и мира будет по сути дела в духе ответа Борна и Налимова: все работает, но определенная тайна остается.
Такую логику рассмотрения можно перенести на квантовую механику, в которой, правда, возникают новые проблемы, отсутствующие при рассмотрении движения броуновской частицы. В статье Стивена Браша ‘Эйнштейн и индетерминизм‘ обсуждается другой аспект, вопрос реализма:
‘Что Эйнштейну не нравилось в квантовой теории, так это не просто то, что она постулировала присущую природе стохастичность, но и то, что она отрицала существование реального мира, независимого от наших наблюдений за ним.’
Имеется в виду следующее обстоятельство. В квантовой механике нельзя говорить о наличии свойств частицы до проведения измерения и это вызывает обвинения в отсутствии реализма в квантовой механике по отношению к миру. В случае броуновской частицы есть двойственное отношение к измерению положения частицы. В теории броуновского движения измерения является испытанием случайной величины, но в рамках проводимого измерения при взаимодействии света с броуновской частицей считается, что броуновская частица всегда имеет определенное положение, которое и показывает измерение. В квантовой механике такое уже не проходит.
Для обсуждения этого вопроса можно взять ответ Эйнштейна в обсуждении формализма квантовой механики Гейзенберга после его доклада в 1926 году. Гейзенберг подчеркивал, что его теория построена при использовании только наблюдаемых величин, на что Эйнштейн дал такой ответ:
‘Но с принципиальной точки зрения желание строить теорию только на наблюдаемых величинах совершенно нелепо. Потому что в действительности все ведь обстоит как раз наоборот. Только теория решает, что именно можно наблюдать’.
Однако это высказывание можно использовать против Эйнштейна, если сказать, что именно формализм использования случайной величины в квантовой механике решает, что такое реальное измерение. При обсуждении проводимых измерений в реальных приборах связь квантовой механики с реальными измерениями задается правилом Борна. Оно по сути дела говорит о наличии случайной величины до проведения измерения, поскольку правило Борна задает распределение вероятности, связанное с результатами измерения.
Отличие от движения броуновской частицы в том, что отсутствует механизм существования такой случайной величины. В случае квантовой механики приходится говорить о существовании случайной величины в природе самой по себе. Как уже отмечалось выше, такое решение связано с признанием существования определенной тайны, но зато оно помогает связать математический формализм с миром и избежать обвинений в полном отсутствии реализма. Такой подход в рассмотрении Баса ван Фраассена реализует принцип координации между теорией и миром.
Для воплощения озвученной идеи необходимо исключить представление о коллапсе волновой функции, поскольку введение коллапса означает исчезновение случайной величины после проведения измерения. Бас ван Фраассен доказывает, что коллапс волновой функции является одной из интерпретаций квантовой механики и что можно оставить правило Борна без введения коллапса. Такое решение предлагается в модальной интерпретации квантовой механики, разработанной ван Фраассеном. Это позволяет рассмотрение измерения в реальном эксперименте как испытания случайной величины, распределение вероятности которой задается формализмом квантовой механики на основе правила Борна.
Такой взгляд на проведение измерений в реальных экспериментах позволяет восстановить необходимый уровень реализма существовании реального мира, независимого от проводимых измерений. В представленной позиции в мире существует частица, свойства которой описываются случайной величиной с заданным распределением вероятности. С этой точки зрения вопрос, существовало ли до проведения испытания численное значение, полученное в ходе испытания случайной величины, является неадекватным. Тем самым, вопрос, существовали ли свойства частицы до измерения, также становится некорректным, поскольку он соответствует предыдущему вопросу.
Еще раз подчеркну, что такое решение оставляет определенную тайну, обсуждаемую в начале раздела Налимовым и Борном. При переходе к обсуждению экспериментов в квантовой механике на уровне математического формализма остается случайная величина, и можно только сказать, что даже единичное измерение в данном случае является испытанием этой случайной величины.
Информация
Charlie Doering, Mathematical Foundations of Stochastic Processes, Lecture 1 and 2, 2015, in 2015 Program of Study : Stochastic Processes in Atmospheric and Oceanic Dynamics.
Patrick H. Byrne, Statistical and causal concepts in Einstein’s early thought. Annals of Science 37, no. 2 (1980): 215-228.
М. Борн, Статистические теории Эйнштейна, В кн. М. Борн, Физика в жизни моего поколения, 1963. с. 172-188.
А. Эйнштейн, Замечания к статьям, в кн. Собрание научных трудов, 1967, т. 4, с. 294 — 315.
Д. Гильберт, Избранные труды. Т. II. 1998. Математические проблемы (1901). 6. Математическое изложение аксиом физики. с. 415-416.
В. В. Налимов, Почему мы пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего мира, В кн. Облик науки, 2018, с. 123 — 177.
Stephen G. Brush, Einstein and indeterminism. Journal of the Washington Academy of Sciences 69, no. 3 (1979): 89-94.
В. Гейзенберг, Физика и философия. Часть и целое, 1989. V. Квантовая механика и беседа с Эйнштейном (1925—1926). с. 187-197.
Дополнительная информация
Признание реальности молекул в начале 20-ого века: Обсуждение признания физиками реальности атомов. По материалам книги Смита и Сета ‘Броуновское движение и действительность молекул‘. Критерий эмпирического обоснования теории физики ван Фраассена.
Шестая проблема Гильберта: Аксиоматизация физики: О позиции Гильберта согласно статье Лео Корри ‘Шестая проблема Гильберта: между основами геометрии и аксиоматизацией физики‘. Гильберт считал геометрию естественной экспериментальной наукой.
В. В. Налимов: Язык вероятностных представлений: Цитаты из статьи, связанные с сопоставлением языка детерминизма и языка на основе вероятности. Детерминизм в европейской культуре. Появление математической статистики. Онтология случая.
Бас ван Фраассен: Модальная интерпретация квантовой механики: Информация из книги ‘Квантовая механика: эмпирический взгляд‘, 1991. Коллапс волновой функции фон Неймана является интерпретацией, от него можно отказаться при сохранении правила Борна.